KUANTOR GANDA

                                                K   

Domain atau semesta pembicaraan penafsiran kuantor sangat penting untuk menentukan jenis kuantor yang akan digunakan serta mempengaruhi penulisan simbolnya. Lihat contoh berikut :

“Setiap orang mencintai Jogjakarta”

Selanjutnya, dapat ditulis simbolnya dengan logika predikat

("x) C(x,j)

Simbol tersebut dapat dibaca “Untuk semua y, y mencintai Jogjakarta”. Persoalan yang terjadi adalah domain penafsirab seseorang untuk y bisa berbeda-beda. Ada orang yang menganggap y hádala manusia, tetapi mungkin orang lain menganggap y bisa mahluk hidup apa saja, misal ayam, bebek, bahkan mungkin y bisa menjadi benda apa saja. Tentu saj domain penafsiran semacam ini kacau karena yang dimaksudkan pasti hanya orang atau manusia. Oleh karena itu, untuk memastikan bahwa domain penafsiran hanya orang, penulisan simbol harus diperbaiki seperti berikut :

("y)(O(y) Þ C(y,j))

Sekarang simbol tersebut dapat dibaca ”Untuk semua y jika y adalah orang, maka y mencintai Jogjakarta”.

Untuk menulis simbol yang tepat, memang harus menempatkan terlebih dahulu domain penafsiran karena domain penafsiran Sangay mempengaruhi penulisan dan sekaligus menghindari terjadinya ambiguitas. Contoh domain penafsiran yang bersifat umum antara lain manusia, binatang, tumbuh-tumbuhan, bilangan prima, bilangan asli, dan sebagainya, yang nantinya akan menggunakan kuantor universal. Akan tetapi jira tertentu saja atau tidak semuanya, misalnya beberapa manusia, atau satu manusia saja, akan memakai kuantor yang berbeda yaitu kuantor eksisitensial.

Persoalan selanjutnya adalah bagaimana jira memakai dua kuntor yang berbeda pada satu penulisan simbol yang berasal dari satu pernyataan. Apakah domain penafsiran juga akan berbeda atau sama?. Perhatikan contoh berikut ini :

“Setiap orang dicintai oleh seseorang”

Dengan notasi simbol logika predikat, akan ditullis seperti berikut

("x)($y) C(y,x)

Yang dapat dibaca ”Untuk semua x, terdapat y dimana y mencintai x”

X dan Y sebenarnya menunjuk domain penafsiran yang sama yaitu orang, dan pada simbol tersebut ternyata dibedakan. Penulisan tersebut lebih baik lagi jika bisa memakai variable yang sama. Maka pernyataan diatas secara lengkap dapat ditulis :

("x)(O(x) Þ ($x)(O(y) Ù C(y,x)))

Sekarang perhatikan contoh penulisan pernyataan berikut jika menggunakan angka atau bilangan.

("xÎreal)("yÎreal)S(x,y), misalkan S(x,y)=x+y=y+x dan dapat dibaca “ Untuk semua bilangan real x dan semua bilangan real y, adalah benar x+y=y+x”

Sekarang perhatikan jika pengkuantoran ternyata melibatkan lebih dari satu jenis kuantor dengan contoh pernyataan berikut :

“Terdapat bilangan positif x sedemikian sehingga untuk semua bilangan positif y berlaku y<x”

Pernyataan di atas dapat ditulis :

($x)("y)(y<x)

Sebelumnya telah dijelaskan bahwa kuantor universal (") dan kuantor eksistensial ($) diperlakukan sebagai perangkai unary dan kuantor juga memiliki urutan lebih tinggi dibandingkan dengan perangkai binary. Lihat contoh berikut :

Contoh 2.13:

H(x) : x hidup

M(x) : x mati

("x)(H(x) Ú M(x)) dibaca “Untuk semua x, x hidup atau x mati”

Akan tetapi jika ditulisnya ("x)(H(x)) Ú M(x) maka dibaca “Untuk semua x hidup, atau x mati”. Pada “x mati”, x tidak terhubing dengan kuantor universal, yang terhubung hanya”x hidup”. Sekali lagi, perhatikan penulisan serta peletakan tanda kurungnya.

Secara umum, hubungan antara penempatan kuantor ganda adalah sebagai berikut :

("x)("y) P(x,y) º ("y)("x) P(x,y)

($x)($y) P(x,y) º ($y)($x) P(x,y)

($x)("y) P(x,y) º ("y)($x) P(x,y)

Ingkaran kalimat berkuantor ganda dilakukan dengan cara yang sama seperti ingkaran pada kalimat berkuantor tunggal.

Ø[($x)("y) P(x,y)] º ("x)($y) ØP(x,y)

Ø[("x)($y) P(x,y)] º ($x)("y) ØP(x,y)

Contoh 2.14:

Tentukan negasi dari logika predikat berikut ini :

1.   ("x)($y) x=2y dengan domainnya adalah bilangan bulat

("x)($y) x=2y dibaca “Untuk semua bilangan bulat x, terdapat bilangan bulat y yang memenuhi x=2y. Maka negasinya :

Ø[("x)($y) x=2y] º ($x)("y) x¹2y

2.   Ada toko buah yang menjual segala jenis buah

Dapat ditulis ($x)("y) x menjual y. Maka negasinya

Ø[($x)("y) x menjual y] º ("x)($y) x tidak menjual y

Dibaca “Semua toko buah tidak menjual paling sedikit satu jenis buah”.

Mengubah pernyataan ke dalam logika predikat yang memiliki kuantor ganda

Misal : “Ada seseorang yang mengenal setiap orang”

Langkah-langkahnya :

1.   Jadikan potongan pernyataan ”x kenal y”, maka akan menjadi K(x,y).

K(x,y) : x kenal y

2.   Jadikan potongan pernyataan ”x kenal semua y”, sehingga menjadi

 

("y) K(x,y)

3.   Jadikan pernyataan “ada x, yang x kenal semua y”, sehingga menjadi

 

($x)("y) K(x,y)

SOAL LATIHAN 2

1.   Ubahlah pernyataan berikut ke dalam logika predikat kemudian negasikan

1. Setiap orang memiliki seseorang yang menjadi ibunya.
2. Semua orang menghormati Presiden SBY.
3. Ada mahasiswa TI yang tidak lulus logika informatika.
4. Setiap orang dicintai oleh seseorang.
5. Ada programmer yang menguasai semua bahasa pemrograman.

2.   Misalkan B(x,y) adalah pernyataan “x mengikuti matakuliah y”, dan semsta pembicaraan untuk x adalah semua mahasiswa di matakuliah tersebut, sedangkan y adalah semua matakuliah ilmu komputer. Ubahlah ekspresi dengan kuantor-kuantor berikut ke dalam pernyataan berbahasa Indonesia.

a.                    ($x)($y) B(x,y)

b.                    ($x)("y) B(x,y)

c.                    ("x)($y) B(x,y)

d.                   ($y)("x) B(x,y)

e.                    ("y)($x) B(x,y)

f.                     ("x)("y) B(x,y)

3.   Misalkan W(x,y) adalah pernyataan “x berwisata ke y”, dan semesta pembicaraan untuk x adalah semua mahasiswa di STMIK NH, sedangkan y adalah semua objek wisata di Indonesia. Ubahlah kuantor berikut ke dalam pernyataan berbahasa Indonesia.

a) W(Badu, Borobudur)

b) ($x) W(x, Kuta)

c) ($y) W(Dito,y)

d) ($y) (W(Dewi,y) Ù W(Siti,y))

4.   Misalkan A(x) adalah pernyataan “x berbicara bahasa Inggris” dan B(x) adalah pernyataan “x menguasai bahasa pemrograman Borland Delphi”. Ubahlah pernyataan berikut ke dalam simbol kuantor kemudian negasikan.

a.    Ada mahasiswa di STMIK yang dapat berbicara bhs Inggris dan menguasai Delphi.

b.    Ada mahasiswa di STMIK yang dapat berbicara bhs Inggris tetapi tidak meguasai Delphi.

c.    Semua mahasiswa di STMIK dapat berbicara bhs Inggris sekaligus menguasai Delphi.

d.   Tidak ada mahasiswa STMIK yang dapat berbicara bhs Inggris dan menguasai Delphi.

5.   Jika diketahui semesta pembicaraannnya adalah (1,2,3). Tentukan nilai kebenaran pernyataan berkuantor berikut :

a.                    ($x)("y) x²<y+1

b.                    ("x)($y) x²+y²<12

c.                    ("x)("y) x²+y²<12

6.   Negasikan pernyataan berikut

a.                    ("x)($y)(p(x,y) Ú q(x,y))

b.                    ($x)("y)(p(x,y) Þ q(x,y))

c.                    ($y)($x)(p(x) Ù Øq(x))