2.1.1 PENDAHULUAN
Seperti yang
telah dibahas sebelumnya, dapat ditarik satu kesimpulan bahwa titik berat
logika adalah pada pembuktian validitas suatu argumen logika proposisional
dengan berbagai teknik yang relevan, yaitu menggunakan tabel kebenaran sebagai
dasar pembuktian dan juga menggunakan hukum-hukum logika.
Logika
proposisional sudah cukup untuk menangani pernyataan-pernyataan yang sederhana
dan banyak dijumpai dalam peristiwa sehari-hari. Akan tetapi logika
proposisional saja ternyata belum mampu menangani argumen-argumen yang berisi
pernyataan-pernyataan yang rumit dan sering dijumpai dalam peristiwa
sehari-hari. Sebagai
contoh perhatikan argumen berikut ini :
Contoh
2.1 :
1. Semua
gajah mempunyai belalai.
2. Dumbo
seekor gajah.
3. Dengan
demikian, Dumbo memiliki belalai.
Tanpa perlu
dibuktikan validitasnya, orang-orang pasti mengatakan argumen tersebut valid
karena dengan jelas kesimpulan mengikuti premis-premisnya. Akan tetapi
bagaimana cara membuktikannya?. Tentunya memakai logika proposisional.
2.1.2
ARGUMEN PADA LOGIKA PREDIKAT
Validitas sebuah
argumen dapat dibuktikan dengan contoh yang mirip dengan contoh diatas. Perhatikan contoh argumen berikut :
Contoh 2.2 :
1.
Semua mahasiswa pasti
pandai.
2.
Badu seorang
mahasiswa.
3.
Dengan demikian, Badu
pandai.
Secara nalar,
kebanyakan orang akan menilai bahwa argumen di atas mempunyai validitas yang
kuat. Akan tetapi, saat validitas tersebut ingin dibuktikan dengan logika
proposisional, ternyata tidak bisa diselesaikan. Pembuktiannya dapat dilakukan
dengan mengikuti prosedur logika proposisional dengan menentukan terlebih
dahulu proposisi-proposisinya :
|
A=Semua
mahasiswa pasti pandai.
B=Badu seorang
mahasiswa.
C=Badu pasti
pandai.
Selanjutnya
akan menjadi seperti berikut :
|
Dalam bentuk
ekspresi logika diatas, tidak ada hukum-hukum logika proposisional yang dapat
digunakan untuk membuktikan validitas argumen tersebut karena tidak ada yang
mampu menghubungkan antara ketiga proposisi yang digunakan di atas. Atau tidak
mungkin suatu kesimpulan yang berbeda dapat dihasilkan dari premis-premis yang
berbeda. Dengan kata lain, tidak mungkin suatu kesimpulan berupa C dapat
dihasilkan dari premis A dan premis B.
Kalau argumen
diatas masih ingin dibuktikan dengan logika proposisional, maka klaimatnya
harus diperbaiki. Misalnya seperti
berikut :
Contoh 2.3:
1.
Jika Badu seorang
mahasiswa, maka ia pasti pandai.
2.
Badu seorang
mahasiswa.
3.
Dengan demikian, ia
pasti pandai.
Jika dirubah
dalam bentuk ekspresi logika
1. B Þ C premis
1
2. B premis 2
3. C kesimpulan
Atau dapat juga
ditulis [(BÞC)ÙB]ÞC
Dalam logika
proposisional, ekspresi logika di atas sudah benar karena kesimpulan diambil
dari premis-premis.
Persoalan yang
terjadi adalah pernyataan tersebut tidak sepenuhnya mampu menangkap ide pada
argumen yang pertama yaitu “Semua mahasiswa pandai”. Ide pada pernyataan
tersebut tidak tertangkap pada argumen kedua karena hanya mampu menunjuk
seorang mahasiswa yaitu Badu, bukan semua mahasiswa.
Persoalan lain
juga terjadi, yakni kesulitan menentukan objek, misalnya orang yang dimaksudkan
jika diganti dengan kata ganti orang. Perhatikan pernyataan-pernyataan pada
contoh argumen berikut ini :
Contoh 2.4:
1. Jika Badu
seorang mahasiswa, maka ia pasti pandai.
2. Dewi seorang
mahasiswa.
3. Dengan
demikian, ia pasti pandai.
Siapakah “ia”
yang berada pada kesimpulan? Apakah Badu atau Dewi?.
Kalau premis 1
diubah menjadi, “ Jika Dewi seorang mahasiswa, maka pasti ia pandai”, maka
pernyataan tersebut sudah pasti tepat. Akan tetapi argumen tersebut menunjuk
kepada dua orang mahasiswa yaitu Badu dan Dewi sehingga kata “ia” sebagai kata
ganti tunggal tidak bisa berperan dengan tepat karena bisa berarti “Badu”, bisa
juga berarti “Dewi”.
Jadi suatu
argumen yang sangat kuat logikanya, memang ada yag tidak dapat ditangani oleh
logika proposisional. Oleh karena itu logika proposisional dikembangkan menjadi
logika predikat (predicate logic)
atau kalkulus predikat (predicate calculus).
Untuk mrncari
kesamaan antara pernyataan-pernyataan dalam argumen pada logika predikat,
diperlukan sesuatu yang mampu menghubungkannya. Pada contoh yang terakhir,
penghubung antara Badu dan Dewi adalah keduanya mahasiswa. Selain
mengidentifikasikan individu-individunya, yaitu Badu dan Dewi, juga akan dicari
predikatnya. Ini merupakan langkah awal logika predikat sebelum membuktikan
validitasnya. Secara umum, predikat digunakan untuk menjelaskan properti, yakni
hubungan antara individu-individu. Lihat contoh yang sederhana berikut
Contoh 2.5 :
Badu dan Dewi
berpacaran
Dalam logika
proposisional akan dipecah menjadi dua pernyataan, yaitu “Badu berpacaran” dan
“Dewi berpacaran”. Kedua pernyataan tersebut akan menjadi aneh karen maksud
kalimatnya bukan seperti itu. Di sini
tidak diketahui dengan siapa Badu atau Dewi berpacaran. Padahal pada
pernyataan awal jelas bahwa Badu berpacaran dengan Dewi atau Dewi berpacaran
dengan Badu.
Dengan logika
predikat, kata “berpacaran” pada contoh diatas merupakan predikat, sedangkan
individu-individunya yang berupa entitas yang dihubungkan dengan predikat
tersebut, yaitu Badu dan Dewi, disebut term.
Term pada logika predikat berfungsi sama seperti kata benda (noun) pada bahasa inggris.
Sebagai pelengkap term dan predikat,
orang menggunakan kuantor (quantifier),
sedangkan prosesnya disebut pengkuantoran (quantification).Kuantor
mengindikasikan seberapa banyak perulangan pada pernyataan tertentu yang bernilai benar, khususnya
kuantor universal (universal quantifier)
yang menginikasikan suatu pernyataan selalu bernilai benar. Kuantor lainnya
adalah kuantor eksistensial (Existensial
quantifier) yang mengindikasikan bahwa suatu pernyataan kadang-kadang
bernilai benar atau mungkin juga salah . pada pernyataan “Semua mahasiswa pasti
pandai” maka kata “semua” secara universal semuanya selalu bernilai benar.
Dari uraian di
atas, maka hubungan antara logika predikat dengan logika proposisional menjadi
jelas, bahwa logika predikat sebenarnya menjadikan logika proposisional menjadi
bersifat universal atau umum. Dengan demikian, selain term, predikat dan
kuantor, logika predikat juga memiliki proposisi-proposisi dan
perangkai-perangkai sebagai bagian dari pembahasan dan proses manipulasinya.
Satu bagian
yang penting dari logika dari logika predikat adalah fungsi proposisional (propositional function) atau cukup
disebut fungsi saja. Fungsi berperan penting sewaktu menggunakan
persamaan-persamaan karena ia bertugas persis seperti variabel proposisional
karena fungsi tersebutlah yang dirangkai dengan perangkai-perangkai logika, dan
kemudian membentuk ekspresi logika, dari yang rumit sampai yang sederhana dan
digunakan sebagai bahan untuk dimanipulasi secara matematis.
Bagi para ahli
di bidang ilmu komputer, logika predikat berperan penting dengan beberapa
alasan. Pertama, logika predikat memberi alasan logis yang mendasari bahasa
pemrograman logika, misalnya PROLOG dan LISP. Kedua, logika predikat mampu
mendorong pengembangan kebutuhan aplikasi komputer. Ketiga, logika predikat mampu
berperan di bagian pembuktian tentang masalah “correctness” sehingga dapat secara tepat mengetahui kondisi program
yang menghasilkan keluaran yang benar.
Contoh-contoh
argumen yang menggunakan logika predikat masih cukup banyak, misalnya dua
contoh berikut ini :
Contoh
2.6 :
1. Setiap kucing
mempunyai ekor.
2. Tom adalah
seekor kucing.
3. Dengan demikian,
Tom memiliki ekor
Atau
:
1. Setiap lelaki
hidup abadi.
2. Socrates adalah
seorang lelaki.
3. Dengan demikian,
Socrates hidup abadi.
Argumen juga bisa
lebih panjang karena memiliki lebih dari 2 premis, tetapi tetap dengan satu
kesimpulan. Lihat contoh argumen berikut :
Contoh
2.7:
1. Badu menyukai
Siti.
2. Pria yang
menyukai Siti pasti menyukai Dewi.
3. Badu hanya
menyukai wanita cantik.
4. Dengan demikian,
Dewi adalah wanita cantik.
Jelas bahwa
kesimpulan pada pernyataan ke-4 adalah logis karena jelas berasal dari
premis-premisnya, tetapi jika dibuktikan melalui logika proposisional akan
terjadi kesulitan karena kesimpulan bukan diambil utuh dari premisnya, tetapi
merupakan gabungan dari beberapa premis. Di sinilah logika predikat akan
berperan.
Banyak argumen
logis yang tidak bisa diselesaikan pembuktian validitasnya dengan logika
proposisional. Untuk itu, kemudian dikembangkan logika predikat untuk mengatasi
masalah tersebut.
Logika predikat
diperkenalkan oleh Sir William Hamilton (1788-1856) dengan doktrinnya yang
dinamakan “Quantification Theory”.
Oleh karena itu, logika predikat sebenarnya adalah logika proposisional yang
ditambah dengan hal-hal baru, yaitu pengkuantoran.
2.2 KALIMAT BERKUANTOR
Perhatikan
ketiga kalimat berikut :
a) Semarang
b) X adalah
binatang berkaki empat, X={kuda, burung, ular, singa}
Jika diperhatikan
pada kedua kalimat diatas, kalimat (a) adalah sebuah kalimat pernyataan dengan
nilai kebenaran T. Kalimat (b) belum dapat ditentukan nilai kebenarannya
sebelum variabel x –nya
diganti dengan
salah satu himpunan dari x, karena itu kalimat (b) disebut kalimat terbuka.
Jika x diganti dengan “Kuda” atau “Singa”, maka kalimat terbuka (b) menjadi
benar. Tetapi jika diganti dengan “Burung” atau “Ular”, maka kalimatnya menjadi
salah.
Apa yang terjadi
jika terhdap suatu kalimat terbuka ditambahkan kata-kata seperti : “untuk
semua/ setiap x…..”, Beberapa/Terdapat/Ada x…….. Untuk kalimat (b) maka
kalimatnya menjadi :
1)
Untuk semua/setiap x, x adalah binatang
berkaki empat.
2)
Terdapat binatang x, dimana x adalah
binatang berkaki empat.
Kata-kata
semua…….., setiap………, beberapa…….., terdapat…….., ada…….. seperti adi atas disebut
dengan kalimat berkuantor (Quantifier). Kuantor tersebut
menunjukkan atau berkait dengan banyaknya pengganti peubah x sehingga
didapatkan suatu pernyataan berkuantor yang bernilai benar saja atau salah
saja. Seperti yang telah diuaraikan pada argumen pada logika
predikat, kuantor ada dua jenis yaitu kuantor universal dan kuantor
eksistensial.
KUANTOR UNIVERSAL (UNIVERSAL
QUANTIFIER).
Kuantor
universal menunjukkan bahwa setiap objek dalam semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya.
Kita dapat meletakkan kata-kata “Untuk semua/setiap x” di depan kalimat terbuka
yang mengandung variabel x untuk menghasilkan kalimat yang mempunyai suatu
nilai kebenaran. Nilai x ditentukan berdasarkan semesta pembicaraannya. Kuantor
universal disimbolkan dengan “"”. Kuantor universal
mengindikasikan bahwa sesuatu bernilai benar untuk semua
individual-individualnya. Perhatikan kalimat berikut ini :
“Semua gajah
mempunyai belalai”
Maka jika
predikat “mempunyai belalai” diganti dengan simbol B maka dapat ditulis :
G(x) Þ B(x), dapat dibaca “Jika x adalah gajah, maka x
mempunyai belalai”
Tetapi kalimat
di atas belum berupa kalimat berkuantor karena kalimat diatas belum memuat kata
“semua”. Untuk itu perlu ditambahkan simbul kuantor universal sehingga menjadi
("x)(G(x) Þ B(x)), jadi sekarang dapat dibaca ” Untuk semua x, jika
x adalah gajah, maka x mempunyai belalai”.
Pernyataan-pernyataan
yang berisi kata ”semua”, ”setiap”, atau kata lain yang sama artinya,
mengindikasikan adanya pengkuantifikasian secara universal, maka dipakai
kuantor universal. Dalam bahasa inggris, misalnya untuk orang ada kata ”every people”, ”all people”, ”anybody”,
“each people”, dan lain-lainnya.
Misalnya jika
diketahui pernyataan logika, ”Setiap mahasiswa harus belajar dari buku teks”, jika
ingin ditulis dalam logika predikat, maka ditentukan misal B untuk “ harus
belajar dari buku teks”, sehingga jika ditulis B(x), berarti “x harus belajar
dari buku teks”. Kata “Setiap mahasiswa” mengindikasikan bernilai benar untuk
setiap x, maka penulisan yang lengkap adalah :
("x) Bx,
dibaca “Untuk setiap x, x harus belajar dari buku teks”.
Akan tetapi notasi
diatas belum sempurna karena x belum menunjuk mahasiswa, maka harus lebih
ditegaskan dan sebaiknya ditulis :
("x)(M(x) Þ B(x)),
dibaca “Untuk setiap x, jika x mahasiswa, maka x harus belajar dari buku teks”.
Langkah untuk melakukan pengkuantoran universal :
Perhatikan
pernyataan berikut ini :
“Semua mahasiswa harus rajin belajar”
Untuk melakukan
pengkuantoran universal pada pernyataan tersebut maka dilakukan langkah-langkah
seperti berikut :
1.
Carilah
lingkup (scope) dari kuantor
universalnya, yaitu
“Jika x adalah mahasiswa, maka x harus rajin belajar”.
Selanjutnya akan ditulis :
mahasiswa(x) Þ harus rajin belajar(x)
2.
Berilah
kuantor universal di depannya
("x)(mahasiswa(x) Þ harus rajin
belajar(x))
3.
Ubahlah
menjadi suatu fungsi
(Ax)(M(x) Þ B(x))
Contoh 2.8 :
1.
”Semua tanaman hijau
membutuhkan air untuk tumbuh ”.
· Jika x adalah tanaman hijau, maka x membutuhkan air untuk tumbuh
Tanaman hijau(x) Þ membutuhkan air untuk tumbuh(x)
·
("x) (Tanaman hijau(x) Þ membutuhkan air untuk tumbuh(x))
· ("x)(T(x) Þ A(x))
2. ”Semua artis adalah cantik”.
·
Jika x adalah artis, maka x cantik,
Artis(x) Þ cantik(x).
·
("x)( Artis(x) Þ cantik(x))
·
("x)(A(x) Þ C(x))
3.
Jika diketahui
persamaan x+3>10, dengan x adalah himpunan bilangan bulat positif A > 5 .
Tentukan nilai kebenaran ("xÎA) x+3>10. Untuk menentukan nilai kebenarannya, maka harus dicek satu
persatu
A={1,2,3,4}. Jika kuantor universal, maka untuk semua nilai A yang dimasukkan
harus memenuhi persamaan yaitu x+3<10
Untuk A=1, maka 1+3>10 º 4>10 Memenuhi
A=2, maka 2+3>10 º 5>10 Memenuhi
A=3, maka 3+3>10 º 6>10 Memenuhi
A=4, maka 4+3>10 º 7>10 Memenuhi
Karena semua himpunan A memenuhi, maka ("x) x+3>10 bernilai benar. Tapi jika ada satu saja nilai A yang
tidak memenuhi, misalnya dimasukkan A=8, sehingga 8+3>10 º 11>10, dimana hasilnya salah maka ("x) x+3>10 bernilai salah. Nilai
x yang menyebabkan suatu kuantor bernilai salah disebut dengan contoh penyangkal atau counter
example.
SOAL LATIHAN 1
1.
Misal Px : x adalah
planet seperti bumi
Qx : x mendukung kehidupan
Terjemahkan pernyataan kuantor universal
berikut ke dalam bahasa sehari-hari.
a)
"x(Px Þ Qx)
b)
"x(Px) Ú "x(Qx)
c)
"x(Px Ú ØQx)
d)
"x(Px) Ú "x(ØQx)
2.
Misal Rx : x adalah
bilangan integer
Ubahlah ke dalam pernyataan berkuantor universal
a)
Kuadarat dari setiap
bilangan integer negatif adalah positif
b)
Tidak semua bilangan
integer positif
c)
Tidak ada bilangan
integer positif yang negatif
d)
Semua bilangan integer
adalah positif atau tidak ada bilangan
e)
integer yang positif
KUANTOR EKSISTENSIAL (EXISTENSIAL
QUANTIFIER)
Kuantor
eksistensial menunjukkan bahwa diantara objek-objek (term –term) dalam semestanya, paling
sedikit ada ada satu term/objek
yang memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya.
Kita dapat meletakkan kata-kata : “Terdapat…..”, “Beberapa x
bersifat…..”, “Ada……”, “Paling sedikit ada satu x………” di depan kalimat terbuka yang mengandung variabel x. Kuantor eksistensial
disimbolkan dengan ”$”. Kuantor eksistensial mengindikasikan bahwa sesuatu kadang-kadang bernilai benar untuk individu-individualnya.
Dalam bahasa
inggris, penggunaan kuantor eksistensial dapat ditunjukkan dengan penggunaan
kata kata: ”some”,” there is”, ”at least
one”, dan kata-kata lain yang sama artinya.
Perhatikan
kalimat berikut ini :
” Ada pelajar
yang memperoleh beasiswa berprestasi ”
Untuk melakukan
pengkuantoran eksistensial pada pernyataan tersebut, dilakukan langkkah-langkah
sebagai berikut :
1.
Carilah scope dari kuantor-kuantor eksistensialnya,
yaitu :
“Ada x yang adalah pelajar, dan x memperoleh beasiswa berprestasi “.
Selanjutnya akan ditulis :
Pelajar(x) Ù memperoleh beasiswa berprestasi(x)
2.
Berilah kuantor
eksisitensial di depannya.
($x) (Pelajar(x) Ù memperoleh beasiswa berprestasi(x))
3.
Ubahlah menjadi suatu
fungsi.
($x)(P(x) Ù B(x))
Contoh 2.9:
1.
“Beberapa orang rajin
beribadah”.
Jika ditulis dengan menggunakan logika predikat, maka:
· ”Ada x yang adalah orang, dan x rajin beribadah”.
· ($x)(Orang(x) Ù rajin beribadah(x))
· ($x)(O(x) Ù I(x))
2.
“Ada binatang yang
tidak mempunyai kaki”.
- “Terdapat x yang adalah
binatang, dan x tidak mempunyai kaki”.
- ($x)(binatang(x) Ù tidak mempunyai kaki(x))
- ($x)(B(x) Ù ØK(x))
3.
Misalkan B adalah
himpunan bilangan bulat. Tentukan nilai kebenaran ($x Î B)(x2=x).
($x Î B)(x2=x) dapat dibaca “Terdapat x yang adalah bilangan bulat
dan x memenuhi x2=x”. ($x Î B)(x2=x) akan bernilai benar jika dapat ditunjukkan paling
sedikit ada satu bilangan bulat yang memenuhi x2=x.
Misal x= -1, maka (-1)2=1 Tidak
memenuhi
X= 1, maka (1)2=1 Memenuhi
Karena ada satu nilai yang memenuhi, yaitu x=1, maka pernyataan di atas
bernilai benar.
MEMPREDIKATKAN SATU DAN N-ARITAS OBJEK
Contoh berikut
merupakan pernyataan untuk semakin memahami cara menulis simbol dengan logika
predikat. Perhatikan dengan sekssms bsgsimsns huruf besar menggantikan predikat
dan huruf kecil menggantikan variabel (objek).
Contoh 2.10:
1.
Badu seorang
mahasiswa. M(b)
2.
Jika Badu rajin
belajar, maka ia akan lulus. B(b) Þ L(b)
3.
Semua rumput berwarna hijau. ("y)(R(y) Þ H(y))
Tidak selalu
harus menggunakan huruf kecil x untuk variabel yang umum, tetapi yang penting
adalah konsisten. Jadi untuk contoh no.3 tidak boleh ditulis ("y)(R(y) Þ H(x))
Contoh 2.11:
1.
Semua orang harus
bekerja. ("x)(O(x) Þ B(x))
2.
Beberapa mahasiswa
lupus sarjana. ($x)(M(x) Ù L(x))
3.
Ada sesuatu yang
hilang di desa Sidomakmur. ($x)(S(x) Ù H(x))
Dari berbagai
contoh di atas, dapat kita simpulkan bahwa :
·
Jika pernyataan
memakai kuantor universal ("), maka digunakan perangkai implikasi (Þ), yaitu “Jika semua......maka.....”
·
Jika pernyataan
memakai kuantor eksistensial ($), maka digunakan perangkai konjungsi (Ù), yaitu “Ada...yang...dan....”.
Conoth-contoh
diatas berhubungan dengan predikat unary
atau relasi satu tempat (objek hanya satu), dan tentu saja penulisan simbol
harus ampu menunjukkan predikat n-ary yaitu relasi dimana objeknya sebanyak n
buah. Lihat contoh berikut :
Contoh 2.12:
1.
Setiap orang mencintai
Jogjakarta. ("x) C(x,J)
2.
Setiap bilangan genap
dapat dibagi 2. ("x)(G(x) Þ B(x,2))
3.
Tak ada bilangan prima
di antara 23 dan 29. ($x)(P(x) Ù A(x,23,29))
4.
Badu mengenal seua
benda. ("x) K(b,x)
0 komentar:
Post a Comment