Menyelesaikan SPLDV dengan Matriks
Cara yang paling umum dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah menggunakan metode substitusi, eliminasi, atau campuran. Kali ini, idschool akan mengenalkan cara menyelesaiakan sistem persamaan linear (SPL) dengan cara yang baru, yaitu dengan menggunakan matriks. Meskipun cara ini akan sedikit rumit, namun cara ini akan sangat berguna untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan banyak variabel. Selanjutnya, langsung ke langkah-langlah penyelesaian SPLDV yang dapat dilihat di bawah.
Diketahui sistem persamaan linear dua peubah sebagai berikut.
![\[ ax + by = c \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t-6REFfyPzoPNed-IwI2qik-tZG1t_gzyJgF43tB460YU6DfWapedIg0LuPe180I0gXE4Jbv4kxJ_DUHHegxodh1KPZFMt5Me26dnZG115G2qm8G3sZG2P3ipZ9UNuKAtzHOryMCslxVGiQ6R1Q8osoFYg_MHIuQ7JHoSgkNKWSos=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ px + qy = r \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v7cLU_4G_FdhhdanpDptWZ8r4_n7sK7rY4UTBRGUy2W39HfbmzPVjVkmJSW8KKsM_Ae40EmpqmEKjhcYTtKRGXZpNEZCnTs09dvlR3ycJrEgXTC9S9bz5yIdqoOef-r5w-TGSJBEYtKYZlmaajDrAzWJ2WuCRGOAwI726k0Cs8SZ8=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dua persamaan di atas merupakan sistem persamaan linear dengan dua variabel, yaitu x dan y. Bentuk sistem di atas dalam matriks bisa dilihat pada persamaan di bawah.
![\[ \begin{bmatrix} a & b \\ p & q \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ r \end{bmatrix} \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vadJMN1yGuk0VnH63-dp-gsMMYR2QxU0_GSeBTWDeXm6NSCYd4WNb3f7j__nn-Cog1GA93yG93AvGsOCFtT_3bZvn4Nc9OS5b4_MHPHXi3FFdIuDyE6hZeC6iOUrfS6GQkEj-1e_GwORoMjtyxWBVH3YAlaUSnWu21TX3D_y_Qx78=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
Berdasarkan sifat matriks invertibel, maka variabel x dan y dapat diketahui melalui cara berikut.
![\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ p & q \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} c \\ r \end{bmatrix} \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vHX45SyaqJbUsj88whdpXGdlpYNQQP3a8mNfY5a9NWha9fDQugLLjmDB-S5JpxxOOYdhL_-fyhY6POcR-75ooPgoFEt_s3_JqAvqq28kvfdNeh_aXxjnw1ghywDRVXybuujq_OtGhOpCYPt17Ro4G4VZpMP-I8DTL6jvtizyX6-ew=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac{1}{aq - bp} \begin{bmatrix} q & -b \\ -q & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ r \end{bmatrix} \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tgfyMMV6XKgNKxSwxnEbvWBd0HjE9TjRz3gqku7E6XwAlGAMHrRhWySPYpZdqZZ4R3JC6piZ8UkG2LvwsL3gWHSRSuYUQyqOEFw7Ost8rvU9KgCe_2vLt-WxLCZ70tK9uyIZN7x5NBKtxuR9lMreJjmd_uLf2NuLZ2g1AnS2pbJeg=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
Atau juga bisa dengan cara seperti berikut.
![\[ x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{\left| \begin{matrix} c & b \\ r & q \end{matrix} \right| }{\left| \begin{matrix} a & b \\ p & q \end{matrix} \right| }\]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_slLlgACXXl26U-UYwnN6xVJEVQrl4C95j3vvILR2HmYRQcdJn0DlehEobkbj2qXfRmoNm9CAjlSg-wI6zhmK9Q7emDIyYa1EFZoSNlJ1tep5Wt4X04OeScLBTrkYlNmYCAi_KJBhNVWOE3UbEGWcBf5AbW80lcThKLzRuphTRMKp8=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{\left| \begin{matrix} a & c \\ p & r \end{matrix} \right| }{\left| \begin{matrix} a & b \\ p & q \end{matrix} \right| }\]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_twD5_XbiQvRCsxooYmRYa9bj5wHuVr2DRzfVhhS-BFiksLDU1a3GyHFsL_J1XxUUcXVKIkwszrebTkhtzi8FgcUwF1TuP5XbAJi_-Uj6a4K9TMqYH9pbf0nQslN5wqeDkgrf01jWJNiHZgtS85R6-J8UzWfridyKIT-uwURioqQCE=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
Contoh soal sistem persamaan linear dua variabel yang diselesaikan menggunakan matriks dapat dilihat pada pembahasan di bawah.
Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear:
![\[2x + y = 5 \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_stm54_LQOmxO-_gKVx_trDWTI_8m71s9JJcfQyULHL3Y-XpYSR8u5iP1qcfjBbyz8z-J7zX8igQvsN9FK9enD5ycyBNBqtUhWp2d9XGP2MmvzvS1dimrsElboSDAL0GiK4SKhow8JvbkURn7yLMOqMFjg_SUwtA72SLRUz8an20w=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ x + y = 7 \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vTwAXM7m4i122wIj5KE-rP02_mQCUwP_3GTiOsPyOFK-ZLGw1kA3LmGiqQrRdvvtVfAlKH_rvCa5qkiSyrEDDegsUBQWU5x_7ZvXnjXSIf_jRhn8jNMrlfMw4bvRWEOKLCj2hSImJ7MNeUXeKwKdaWlBLrkzF9mBBr_lLbzpQOYg=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
Selanjutnya, akan diselesaikan SPLDV di atas menggunakan matriks. Bentuk matriks dari persamaan SPLDV pada soal adalah sebagai berikut.
![\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix} \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tCC2N6vUcKLl0NfTcwWSRQkpCClu5AfoAatA_zz9LUTMHimf1Ilr_tEk1qCF5DkUuaah11CMW0WBRzUzFQXN05TjLlAk3RXmDACIXg8y-i_Bn_X8G3KyunPck_uQtIgdJTC0emzhtDD2pJ3z2SKHF01ipfFHAAEgO2Are3EV4UqQ=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} ^{-1} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix} \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_upascHC_-nUG6WT4zLASVlFSBKmLRxSKmK4TQXjtb9njZQtLJF5bNRSPaUIhLJB_uXp9szMlTFWn9_UmYal7p9qTjVhEaX2NPHczroIPqTPPq9fNWstZjjPG0Ph_rwYfZidyTb8SCPcNgH7JLyhNnun73CC_qf0QrCKGsSzEqi1w=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac{1}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix} \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_si-6l-aBD1ZemQ4DQ8D6zdWRxjVd_aaho8UZjolmAi73xII4OjnSCPzZ-wNcAx2ILsQnG4M0VsnL12AkF0Atk3SXAyk36a_6O0MqObnlNwK7ft3DKxeYjmW80A-9Bs4DFFSE4ZevO_OSwhebpmJR4doKzk-m_jIG4z-d9pSi4jLXk=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac{1}{2 - 1} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix} \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u0XsqmlVvz1d10zw15HNzo7BHCbWEa45vtIjhg0eLvDhu-l6oB8Q3pIOq5qyOzho223bBYopnQRj_u_nwRPp0n_TVHoH1UgkfZyjrB-0izse2x6LKTHR05K5PwoxAnZ7b44TKJAD7RdBEMrvgGnVA4KYbb8cDpLDktUzGyJyD_sWc=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix} \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sEOw9M1wLA1yOO9rkLZkPGrWZom5mcKsCXY4FJj89bLXrObgwmlKx4hVlwRfb_ueXjf5lYP4e7Jo_fo2sc_KRVKgcCsx2kUTQl4837uQgzjhZvWa5WOQpMyvlLhm7UeXwt_4p5d6qd2bP8gahSdnVwsKtbwXsowrv6xHfsPQFEnK8=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 9 \end{bmatrix} \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sYiU5AxFphmpAKFlRvsi1PxRvQTYNOk8wyFPX90Bdo9gOOR8mqorp_RP5QndT5U_-F_EsEtG9kozndGw8xUZYvZQ4bDHtOARQ1_yPowf-T8mJcJ83Y4qC-FKYy1Bs8Rofh4EtFo2aYSGJzP5Pr8rTpynT0lDc8Bi7MLF3DPPB9_yk=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
Jadi, solusi dari dua persamaan linear dua variabel 2x + y = 5 dan x + y = 7 adalah 
dan 
.
dan .Menyelesaikan SPLTV dengan Matriks
Cara menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan matriks akan sangat bermanfaat pada sistem persamaan linear dengan variabel yang banyak, misalnya pada sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Metode substitusi, eliminasi, atau campuran dirasa tidak tepat untuk menyelesaikan SPLTV. Selanjutnya, simak penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) menggunakan matriks.
Diketahui tiga persamaan linear dengan tiga variabel (x, y, dan z) seperti terlihat pada persamaan di bawah.
![\[ ax + by + cz = d \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sNatVKFw5AGnuAMhXnVTnUuRnb5QiTFpysJZM_us8emAiNVrZKaEX5hmNp_9en3xiGX_o6r1YLNcahb0vg9B19UErXxAzScJsKe46pZ_dtTFDOpG17Zi5xgHuTz1Lx2UIkmwDk42FlBF67aEeYEOu6JeNHP8lTSU99dIJvoltFpZU=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ px + qy + rz = s \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ujH42ODKeyQYKPIygzq99ixEoFPQ3m87fh9rrBaTupqnNFYpWJGowL9CTF_n9PJs_CN_ly5RqM1TJg6CKZO42kN_z2wiySVQNFWgUEEuTIlUacUgZSwklueKznIqbAJJ3FGKBHd7tNlQz3Ga48VoneHugXmtezAxuvFg83zeY9Lvs=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ kx + ly + mz = n \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uNkCS43jF27YzNjFQg9kU-uFEck1QOE7hP4wb9CiLHTzvQwIE_ji2clV3X8fxx1syCXaPsTnMFacCzKSqhZFygfIWkAsLl0jeDtHwvNiIbtpINIBAcllVm39TOHiulcQEN2ARayEcJCm83NfGpPfHL0rFEbCh35FAbh3ZVgbcdSfg=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
Bentuk SPLTV di atas dalam bentuk matriks dapat dibuat seperi berikut.
Berdasarkan matriks di atas, dapat disusun determinan utama, determinan variabel x, determinan variabel y, dan determinan variabel z. Untuk lebih jelasnya perhatikan masing-masing determinan pada daftar di bawah.
- Determinan utama
- Determinan variabel x
- Determinan variabel y
- Determinan variabel z
Selanjutnya, untuk mengetahui niali masing-masing variabel x, y, dan z dapat mengunakan rumus berikut.
Sekian materi mengenai cara menyelesaikan sistem persamana linear (SPL) dengan matriks. Semoga Bermanfaat!
0 komentar:
Post a Comment