1.2 LOGIKA DAN PERNYATAAN

1.2.1          LOGIKA

PENGERTIAN UMUM LOGIKA

          Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran serta mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah.

          Ilmu logika berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen) dan hubungan yang ada diantara kalimat-kalimat tersebut. Tujuannya adalah memberikan aturan-aturan sehingga orang dapat menentukan apakah suatu kalimat bernilai benar.

          Kalimat yang dipelajari dalam logika bersifat umum, baik bahasa sehari-hari maupun bukti matematika yang didasarkan atas hipotesa-hipotesa. Oleh karena itu aturan-aturan yang berlaku di dalamnya haruslah bersifat umum dan tidak tergantung pada kalimat atau disiplin ilmu tertentu. Ilmu logika lebih mengarah dalam bentuk sintaks-sintaks daripada arti dari kalimat itu sendiri.

GAMBARAN UMUM LOGIKA

          Secara umum logika dibedakan menjadi dua yaitu Logika Pasti dan Logika Tidak Pasti. Logika pasti meliputi Logika Pernyataan (Propotitional Logic), Logika Predikat (Predicate Logic), Logika Hubungan (Relation Logic) dan Logika Himpunan. Sedangkan logika tidak pasti meliputi Logika Samar atau  kabur (Fuzzy Logic).

          Logika Pernyataan membicarakan tentang pernyataan tunggal dan kata hubungnya sehingga didapat kalimat majemuk yang berupa kalimat deklaratif.

Logika Predikat  menelaah variabel dalam suatu kalimat, kuantifikasi dan validitas sebuah argumen.

Logika Hubungan mempelajari hubungan antara pernyataan, relasi simetri, refleksif, antisimtris, dll.

Logika himpunan membicarakan tentang unsur-unsur himpunan dan hukum-hukum yang berlaku di dalamnya.

Logika Samar merupakan pertengahan dari dua nilai biner yaitu ya-tidak, nol-satu, benar-salah. Kondisi yang ditunjukkan oleh logika samar ini antara lain : banyak, sedikit, sekitar x, sering, umumnya.  Logika samar banyak diterapkan dalam kecerdasan buatan, mesin pintar atau sistem cerdas dan alat-alat elektronika. Program komputer dengan menggunakan logika samar mempunyai kapasitas penyimpanan lebih kecil dan lebih cepat bila dibanding dengan logika biner.

ALIRAN DALAM LOGIKA

LOGIKA TRADISIONAL

• Pelopornya adalah Aristoteles (384-322 SM)
• Terdiri dari analitika dan dialektika. Ilmu analitika yaitu cara penalaran yang didasarkan pada pernyataan yang benar sedangkan dialektika yaitu cara penalaran yang didasarkan pada dugaan.

LOGIKA METAFISIS

• Dipelopori oleh F. Hegel (1770-1831 M)
• Menurut Hegel, logika dianggap sebagai metafisika dimana susunan pikiran dianggap sebagai kenyataan.

LOGIKA EPISTIMOLOGI

• Diperkenalkan oleh FH. Bradley (1846-1924) dan Bernhard Bosanquet (1848-1923 M).
• Prisip dari logika epistimologi ini adalah untuk mencapai pengetahuan yang memadai, pikiran yang logis dan perasaan halus digabungkan. Selain itu, untuk mencapai kebenaran, logika harus dihubungkan dengan seluruh pengetahuan yang lainnya.

LOGIKA INSTRUMENTALIS/FRAGMATIS

• Dipelopori oleh Jhon Dewey (1859-1952)
• Prinsipnya adalah logika merupakan alat atau instrumen untuk menyelesaikan masalah.

LOGIKA SIMBOLIS

• Logika simbolis adalah ilmu tentang penyimpulan yang sah (absah) yang dikembangkan menggunakan metod ematematika dan bantuan simbol-simbol khusus sehingga memungkinkan seseorang menghindari makna ganda dari bahasa sehari-hari.

• Pelopornya adalah Leibniz, De Morgan, dan Boole
• Logika ini menggunakan bahasa simbol untuk mempelajari secara rinci bagaimana akal harus bekerja dan bercirikan teknis, matematis, dan ilmiah. Pemakaian simbol matematika ini untuk mewakili bahsa dalam bentuk pernyataan yang bernilai benar atau salah.
• Logika simbolis ini kemudian menjadi dasar logika matematika modern yaitu logika formal yang semata-mata menelaah bentuk da bukan isi dari apa yang dibicarakan.

1.1.2          PERNYATAAN (PROPOSISI)

Kata merupakan rangkaian huruf yang mengandung arti, sedangkan kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di dalam matematika tidak semua pernyataan yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang bersifat menerangkan. Disebut juga proposisi.

Andaikan p dan q variabel yang menyajikan proposisi logis. Mereka menyajikan pernyataan seperti misalnya :

1. Saya mempunyai uang                
2.  Benda ini tenggelam dalam air   
3. Kotak ini berisi cabe                   
4. Bangkok adalah ibukota negara Vietnam       
5. Ir.Sukarno adalah presiden pertama RI
6. “Kotagede” mempunyai 9 huruf.
7. Saya lapar
8. Benda ini padat
9. India merupakan suatu negara
10. 1 + 101 = 110

   

Masing-masing dapat bernilai satu dari nilai kebenaran yang tetap yaitu T(rue) atau F(alse). Logika adalah suatu sistem berbasis proposisi. Suatu proposisi adalah suatu pernyataan (statement) yang dapat ber”nilai” Benar (true) atau Salah (false) tapi tidak keduanya. Dikatakan bahwa nilai kebenaran daripada suatu proposisi adl salah satu dari benar (true disajikan dng T) atau salah (false disajikan dengan F). Dalam rangkaian digital (digital circuits) disajikan dng 0 dan 1. Variabel-variabel tersebut diatas dihubungkan dengan menggunakan penghubung logis yang disebut  operator atau functor.

Sebagai contoh :

1)   Saya mempunyai uang dan saya lapar

2)   Jika balok mempunyai berat jenis lebih besar dari 1 maka ia (balok) akan tenggelam diair.

3)   Ir. Sukarno presiden pertama RI dan ia proklamator negara RI

4)   Saya berangkat kantor naik becak atau naik angkot.

5)   Lampu mobil mati karena plentongnya mati atau kabelnya putus.

Perhatikan kalimat-kalimat sebagai berikut :

 1) Tutuplah pintu itu

 2) Dilarang merokok

 3) Nilai daripada x terletak diantara nol dan satu

Kalimat-kalimat tersebut tidak dimasukkan dalam pembicaraan kita karena mereka tidak dapat ber “nilai” benar ataupun salah sedang yang terakhir tidak dimasukkan disini tetapi masuk dalam logika predikat karena ada variabel x yang nilainya belum ditentukan.

Latihan : Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut

1)   Gajah lebih besar daripada tikus

2)   520 < 111

3)   Y > 5

4)   Hari ini tanggal 30 Juni dan 99 < 5

5)   Tolonga jangan ketiduran

6)   Jika gajah berwarna merah maka mereka dapat bersembunyi dii bawah pohon perdu

7)   X < Y jika dan hanya jika Y> X

Definisi .

         Proposisi adalah kalimat deklaratif (atau pernyata an) yang memiliki hanya satu nilai kebenaran yaitu banar saja atau salah saja, akan tetapi tidak keduanya.

         Proposisi yang bukan hasil kombinasi dari proposisi-proposisi disebut atom. Jika atom-atom akan dikombinasikan untuk memperoleh proposisi baru maka diperlukan operator logika atau operator sambung yang dilambangkan dng simbol :

Ø  : “not”, atau “negasi”  ( simbol lain adl  ~ )

Ù  : “and”, atau “konjungsi” ( simbol lain adl &)

Ú  : “or” , atau “disjungsi” atau “inclusive or” 

Å : “xor”, atau “exclusive or”

®: “implies”, atau “Jika … maka…”, atau “implikasi kondisional”

«: “jika dan hanya jika”, atau “bikondisional”

1.2.3          PENGHUBUNG KALIMAT DAN TABEL KEBENARAN

Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound composition), sedangkan proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain  disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik.

Dalam logika dikenal 5 buah penghubung

Simbol	Arti	Bentuk
¬	Tidak/Not/Negasi	Tidak………….
Ù	Dan/And/Konjungsi	……..dan……..
Ú	Atau/Or/Disjungsi	………atau…….
Þ	Implikasi	Jika…….maka…….
Û	Bi-Implikasi	……..bila dan hanya bila……..

Contoh 1.1 :

Misalkan : p menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama bunga”

              Q menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah”

Maka kalimat “ Mawar adalah nama bunga dan Apel adalah nama buah “

Dinyatakan dengan simbol  p Ù q

Contoh 1.2 :

Misalkan  p: hari ini hari minggu

              q: hari ini libur

nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :

a.    Hari ini tidak hari minggu tetapi libur

b.    Hari ini tidak hari minggu dan tidak libur

c.    Tidak benar bahwa hari ini hari minggu dan libur

Penyelesaian

a.   Kata “tetapi” mempunyai arti yang sama dengan dan sehingga kalimat (a) bisa ditulis sebagai : ¬p Ù q

b.   ¬p Ù¬q

c.    ¬(p Ù q)

NEGASI (INGKARAN)

Jika p sebarang proposisi, pernyataan “not p” atau “negasi dp p” akan bernilai F jika p bernilai T dan sebaliknya. Dan ditulis dengan  Øp.  

“Ø” disebut operator unary/monadika dan digambarkan dengan tabel kebenaran  sebagai berikut :

p	Øp
T	F
T	F
F	T
F	T

KONJUNGSI/CONJUNCTION (DAN/AND)

Konjungsi adalah suatu operator binary atau diadika (diadic). Jika p dan q suatu proposisi, pernyataan  p  and  q  akan bernilai kebenaran T jika dan hanya jika kedua p dan q mempunyai nilai kebenaran T, dan ditulis dengan p Ù q dimana operatornya terletak diantara kedua variabel (operand) tsb dan mempunyai tabel kebenaran seperti berikut :

p	q	pÙq
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

Contoh 1.3:

p: Fahmi makan nasi

Q:Fahmi minum kopi

Maka pÙq : Fahmi makan nasi dan minum kopi

Pada konjungsi pÙq akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya (atau keduanya) bernilai salah maka pÙq bernilai salah.

Sifatnya : 1) Komutatif ( p Ù q = q Ù p)

               2) Asosiatif  ( (pÙq)Ùr = pÙ(qÙr) )

DISJUNGSI/DISJUNCTION (ATAU/OR)

Pernyataan “p or q” bernilai T jika dan hanya jika salah satu p atau q (atau keduanya) bernilai T, dan ditulis :p Ú q, dan mempunyai tabel kebenaran seperti berikut.   

p	q	pÚq
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Sifat :

            1) Komutatif  ( p Ú q        = q Ú p)

            2) Asosiatif   ( (p Ú q) Ú r = p Ú (q Ú r) )

Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 arti yaitu :

a.    INKLUSIF OR

Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya true”

Contoh  :

p : pintu rumah terbuka

q : jendela rumah terbuka

p Ú q : pintu rumah terbuka atau jendela rumah terbuka

Hal tersebut dapat keduanya

b.    EKSLUSIF OR

Yaitu jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.

Contoh :

     p : Saya pergi ke kantor naik sepeda motor

     q : Saya pergi ke kantor naik angkot

     p Ú q : Saya pergi kekantor naik sepeda motor atau angkot

Hal tersebut tidak mungkin keduanya.

IMPLIKASI/IMPLICATION (JIKA……MAKA…..)

Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “Þ” dan mempunyai tabel kebenaran sebagai berikut :

p	q	pÞq
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

Notasi pÞq dapat dibaca :

1. Jika p maka q
2. q jika p
3. p adalah syarat cukup untuk q
4. q adalah syarat perlu untuk p

Contoh 1.4:

p : Anita pergi ke luar negeri    (bernilai T)

q : Anita mempunyai passport  (bernilai T)

p Þ q : Jika Anita pergi ke luar negeri maka Anita mempunyai passport

Penjelasannya adalah sebagai berikut :

1.   Jika Anita keluar negeri ( T ) dan Ia mempunyai passport (T), maka legal (T)

2.   Jika Anita keluar negeri (T) dan Ia tidak mempunyai passport (F),  maka illegal (F)

3.   Jika Anita tidak keluar negeri (F) dan ia mempunyai passport (T),  maka legal (T)

4.   Jika Anita tidak keluar negeri (F) dan ia tidak mempunyai passport (F), maka legal (T)

BIIMPLIKASI/BIKONDITIONAL/EKUIVALENSI

Biimplikasi atau bikondosional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “p Û q” yang bernilai sama dengan (p Þq) Ù (q Þ p)  sehingga dapat dibaca “ p jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2 pernytaan  hanya akan bernilai benar jika implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilaii benar. Implikasi mempunyai tabel kebenaran sebagai berikut

p	q	pÛq
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

Contoh 1.5 :

    p : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus.

    q : Dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.

    p Û q : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dan hanya jika dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.

Sifat :

1. Komutatif    ; ( p « q  =  q « p)
2. Asosiatif      ; ( (p « q) « r = p « (q « r)  )
3. Pernyataan Ø(p « q) mempunyai tabel kebenaran yang sama dengan pernyataan p Ú q (Tunjukan)

Untuk menghindari perbedaan konotasi dan keganjilan arti dalam menerjemahkan simbol-simbol logika maka dalam matematika tidak disyaratkan adanya hubungan antara kedua kalimat penyusunnya. Kebenaran suatu kalimat berimplikasi semata-mata hanya tegantung pada nilai kebenaran kaliamat penyusunnya. Karena itu digunakan tabel kebenaran penghubung. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat dimana T=true/benar dan F=false/salah, maka untuk n variable (p,q,…) maka tabel kebenaran memuat 2n baris.

SOAL LATIHAN 1

1.   Mana yang pernyataan dan mana yang bukan

1. Ngawi adalah ibukota propinsi Jawa Timur.
2. Dilarang merokok
3. 119 adalah bilangan bulat
4. Buka pintu
5. Logika informatika adalah mudah
6. Yogya kota pelajar
7. Makanlah yang banyak
8. Sesama cabup tak boleh saling mendahului
9. Buatlah daftar pernyataan sebanyak 50 buah

2.   Tuliskan kalimat dibawah ini dengan simbol logika

a.            Saya akan berlibur ke Bali hanya jika saya lulus ujian

b.    Sarat perlu agar 273 habis dibagi 3 adalah 273 merupakan bilangan prima

c.    Saya akan memberi anda uang apabila saya lulus ujian atau saya mendapat hadiah TTS

d.           Matahari sangat cerah dan kelembabannya tidak tinggi

e.    Jika saya dapat menyelesaikan koreksi saya sebelum makan malam dan tidak hujan, maka saya akan pergi nonton tonil

f.     Jika Anda tidak menjumpai saya besok, berarti saya sudah pergi ke Bandung.

g.   Syarat perlu dan cukup agar bilangan a merupakan bilangan prima adalah a merupakan bilangan gasal atau sama dengan 2

3. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan dibawah ini :

a.                            Jika Jakarta bukan ibukota RI, maka 9 juga bukan bilangan prima

b.                            2+2 = 2x2 hanya bila 2 =0

c.                            2<3 merupakan syarat cukup untuk 2x2 < 3x3

d.                           Syarat perlu dan cukup agar 7 merupakan bilangan prima adalah

e.                            Kebumen berada di Jawa Timur.

f.     Apabila 12 habis dibagi 4 ekuivalen dengan 12 bilangan bilangan genap maka (a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2

                        

4.   Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan berikut

1. Ø(Øp Ù Øq)
2. p Ù (pÚq)
3. [(ØpÙ(ØqÙr)) Ú (qÙr)] Ú (pÙr)
4. (pÙq) Ú [((ØpÙq)Þp) Ù Øq]
5. ( pÞq) Û (ØqÞ Øp)
6. pÙ [((rÚq) Û Ør)
7. Ø[(pÙq) Þ Ør) Ú p

1.2.4          INGKARAN (NEGASI) SUATU PENYATAAN

NEGASI SUATU KONJUNGSI

Contoh : Fahmi makan nasi dan minum kopi

Suatu konjuggsi akan bernilai benar jika kedua kalimat penyusunnya yaitu p dan q bernilai benar, sedangkan negasi adalah pernyataan yang bernilai salah jika pernyataan awalnya bernilai benar  dan bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah.

          Oleh karena itu negasi dari : “Fahmi makan nasi dan minum kopi” adalah suatu pernyataan majemuk lain yang salah satu komponennya merupakan negasi dari komponen pernyataan awalnya. Jadi negasinya adalah: “Fahmi tidak makan nasi atau tidak minum kopi”.

Disini berlaku hukum De Morgan yaitu : Ø(pÙq)  ekuivalen dengan ØpÚØq

NEGASI SUATU DISJUNGSI

Contoh : “Fahmi makan nasi atau minum kopi”

Suatu disjungsi akan bernilai salah hanya jika kedua komponen penyusunnya bernilai salah., selain itu benar. Oleh karena itu negasi dari kalimat  diatas adalah : “ Tidak benar bahwa Fahmi makan nasi atau minum kopi” atau dapat juga dikatakan “Fahmi tidak makan nasi dan tidak minum kopi. Disini berlaku hukum De Morgan yaitu : Ø(pÚq) º ØpÙØq

NEGASI SUATU IMPLIKASI

Contoh 1.6 : “Jika hari hujan maka Adi membawa payung”.

          Untuk memperoleh negasi dari pernyataan diatas, kita dapat mengubah bentuknya ke dalam bentuk disjungsi kemudian dinegasikan, yaitu :

pÞ q º ØpÚq

Maka negasinya

Ø( pÞ q) º Ø(ØpÚq) º pÙØq

NEGASI SUATU BIIMPLIKASI

          Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataaan p dan q yang dinotasikan dengan p Û q º (p Þ q) Ù (q Þ p) sehingga : Ø(p Û q) º Ø [(p Þ q) Ù (q Þ p)]

                                   º Ø [(ØpÚq ) Ù (ØqÚp)]

                                  º Ø (ØpÚq ) Ú Ø(ØqÚp)

                   Ø(p Û q) º (pÙØq ) Ú (qÙØp)

SOAL LATIHAN  2

1.   Apakah ingkaran dari kalimat berikut?

a.    Jika dia belajar maka dia akan lulus ujian.

b.    Dia akan berenang jika dan hanya jika airnya hangat.

c.    Jika hari hujan maka dia tidk akan mengendarai mobil.

d.   Jika hari dingin maka dia akan memakai baju dingin tetapi bukan sweater.

e.    Jika dia belajar maka dia akan pergi ke kampus atau sekolah seni.

2.   Buatlah negasi dari pernyataan berikut!

a.                    (pÞq) Û (ØpÚq)

b.                    (pÙq) Þ ((qÙØq) Þ (rÙq))

c.                    Ø[(ØpÞr) Ú (pÞØq)] Ù r

3.   Sederhanakan pernyataan berikut!

a.    Tidak benar bahwa jika bunga mawar berwarna merah maka bunga violet berwarna ungu.

b.    Tidak benar bahwa udara dingin dan hujan turun.

c.    Tidak benar bahwa dia pendek atau tampan.

d.   Tidak benar bahwa udara tidak dingin atau hujan sedang turun.

e.    Tidak benar bahwa jika hujan sedang turun maka udara dingin. 

f.     Tidak benar bahwa, bunga mawar berwarna merah jika dan hanya jika bunga violet berwarna ungu.