PENYEDERHANAAN LOGIKA

Operasi penyederhanaan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logis. Selanjutnya perhatikan operasi penyederhanaan berikut dengan hukum yang digunakan tertulis di sisi kanannya. Penyederhanaan ekspresi logika atau bentuk-bentuk logika ini dibuat sesederhana mungkin dan sudah tidak dimungkinkan dimanipulasi lagi.

Contoh 1.12 :

1.   Øp Þ Ø(p Þ Øq)

º Øp Þ Ø(Øp Ú Øq)                       ingat pÞq º ØpÚq

º Ø(Øp) Ú Ø(Øp Ú Øq)                             ingat pÞq º ØpÚq

º p Ú (p Ù q)                                  Hk. Negasi ganda dan De Morgan

º (pÚp) Ù (pÚq)                              Hk. Distributif

º pÙ(pÚq)                                                Hk. Idempoten pÚp º p

º p                                                Hk. Absorbsi

2.   pÚ(pÙq)

º (pÙ1) Ú(pÙq)                              Hk.Identitas

º pÙ(1Úq)                                                Hk.Distributif

º pÙ1                                             Hk.Identitas Ú

º p                                                 Hk.Identitas Ù

3.   (pÞq) Ù (qÞp)

º (ØpÚq) Ù (ØqÚp)                         ingat pÞq º ØpÚq

º (ØpÚq) Ù (pÚØq)                         Hk. Komutatif

º [(ØpÚq)         Ùp] Ú [(ØpÚq)ÙØq]          Hk. Distributif

º [(pÙØp)Ú(pÙq)] Ú [(ØpÙØq)Ú(qÙØq)]    Hk. Distributif

º [0Ú(pÙq)] Ú [(ØpÙØq)Ú0]            Hk. Kontradiksi

º (pÙq)Ú(ØpÙØq)                           Hk. Identitas

Operasi penyederhanaan dengan menggunakan hukum-hukum logika dapat digunakan untuk membuktikan suatu ekspresi logika Tautologi, Kontradiksi, maupun Contingent. Jika hasil akhir penyederhanaan ekspresi logika adalah 1, maka ekspresi logika tersebut adalah tautologi. Jika hasil yang diperoleh adalah 0, berarti ekspresi logika tersebut kontradiksi. Jika hasilnya tidak 0 ataupun 1, maka ekspresi logikanya adalah contingent.

Contoh 1.13 :

1.   [(pÞq)Ùp]Þq

º [(ØpÚq)Ùp] Þ q                          ingat pÞq º ØpÚq

º Ø[(ØpÚq)Ùp] Ú q                         ingat pÞq º ØpÚq

º [(pÙØq)ÚØp] Ú q                         Hk. Negasi ganda dan De Morgan

º [(pÚØp)Ù(ØqÚØp)] Ú q                 Hk. Distributif

º [1Ù(ØpÚØq)] Ú q                         Hk. Idempoten dan komutatif

º (ØpÚØq)Úq                                  Hk. Identitas

º ØpÚ(ØqÚq)                                  Hk. Assosiatif

º ØpÚ1                                          Hk. Idempoten

º 1                                                          Hk. Identitas

Karena hasil akhirnya 1, maka ekspresi logika diatas adalah tautologi.

2.   (pÚq) Ù [(Øp) Ù (Øq)]

º (pÚq)Ù(ØpÙØq)                                             

º [(pÚq)ÙØp]Ù[(pÚq)ÙØq]                        Hk. Distributif

º [(pÙØp)Ú(qÙØp)]Ù[(pÙØq)Ú(qÙØq)]      Hk. Distributif

º [0Ú(qÙØp)]Ù[(pÙØq)Ú0]                        Hk. Negasi

º (ØpÙq)Ù(pÙØq)                                     Hk. Idempoten

º (ØpÙp)Ù(qÙØq)                                     Hk. Assosiatif

º 0Ù0                                                      Hk. Negasi

º 0                                                                   Hk. Idempoten

Hasil akhir 0, maka ekspresi logika diatas adalah kontradiksi.

3.   [(pÚq)ÙØp] Þ Øq

º [(pÙØp)Ú(qÙØp)] Þ Øq                         Hk. Distributif

º [0 Ú (qÙØp)] Þ Øq                               Hk. Negasi

º (qÙØp) Þ Øq                                        Hk. Identitas

º Ø(qÙØp) Ú Øq                                       ingat pÞq º ØpÚq

º (ØqÚp) Ú Øq                                         Hk. De Morgan

º (ØqÚØq)Úp                                           Hk. Assosiatif

º ØqÚp                                                    Hk. Idempoten

Hasilnya bukan 0 atau 1,  ekspresi logika di atas adalah contingent.

SOAL LATIHAN 5

1.   Gunakan hukum-hukum ekuivalensi logika untuk menyederhanakan bentuk berikut.

1. (pÚq) Ù Øp
2. p Ú (pÙq)
3. Ø(pÚq) Ú (ØpÙq)
4. Ø(pÞ Øq)
5. Ø(ØpÞ Øq)
6. Ø(ØpÛ Øq)
7. Ø([pÙ (Øq)] Ù r
8. p Ú [Ø(ØpÙq)]
9. ((ØpÙ(ØqÙr)) Ú (qÙr) Ú (pÙr)

2.      Buktikan hukum-hukum logika berikut ini adalah tautologi atau º 1, dengan memakai penyederhanaan.

1. Silogisme hipotesis.
2. Silogisme disjungtif.
3. Modus ponen.
4. Modus tollen.

3.      Buktikan Hukum absorbsi berikut ini dengan penyederhanaan.

1. (pÙq)Ú(ØpÙq) º q
2. (pÚq)Ù(ØpÚq) º q

4.      Buktikan ekspresi-ekspresi logika berikut ini tautologi, kontradiksi atau contingent dengan menggunakan penyederhanaan.

1. p Þ (qÞp)
2. (qÞp)Þp
3. Ø(Øp)Þp